Ejercicios 1.3

1.- Determina la longitud de una escalera cuya parte superior se encuentra apoyada sobre una pared a una altura de 5.7 m y forma un ángulo de 65.7° con el piso. ¿Cúal es la longitud de la escalera?

Datos: Sen 67.5°, CO= 5.7, H= ?

Sen = CO/HIP

hip= CO/sen 67.5° = 5.7/.911403276 = 6.254092069 <-------------

Archivo AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/n18431kowldm4ox/1.-%205.7%20sen%2065.7.dwg?dl=0

2.- Un cable sujeta un poste mediante una abrazadera que se encuentra en el poste, a una altura de 7.7 m y tiene una longitud de 12.7 m. ¿Qué ángulo forma el poste con el cable que lo sujeta?

ca =7.7     h=12.7

  Cos= ca/hip = 7.7m /12.7 m =.606299212

cos= cos-1 (shift cos).606299212

cos= 52.67°

Archivo AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/islloihydysuhji/problema%202%20de%201.3.dwg?dl=0

3.- Utiliza exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 6.16 x 7, 6.63 x 7 y 9.05 x 7 cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

6.16 * 7= 43.12        6.63*7=46.41         9.05*7=63.35

Verificamos si es rectángulo.

Prop 48 ----> (43.12)²     +     (46.41)²   =   (63.35)²

                       1859.3344  +   2153.8881  = 4013.2225

                        ¡Si es rectángulo!

Calculamos ángulo A

Sen A= CO/HIP    Sen 47.10° = h/43.12

h= 43.12 * sen 47.10°

h= 43.12 * .732542898 = 31.58724976

Calculamos  área con fórmula usual

 A = b*h/2 = 63.35(31.58724976) = 2001.052272/ 2 = A = 1000.526136

  

Utilizamos fórmula de Herón de Alejandría

S= 43.12+46.41+63.35/2=76.44

S= la raíz de 76.44(76.44-43.12)(76.44-46.41)(76.44-63.35)

S= ''  '''   '' ''   76.44(33.32)(30.03)(13.09)

S=la raíz de 1001199.56

S=1000.5996

ARCHIVO AUTOCAD

https://www.dropbox.com/s/1ocliy1jigjd3w0/problema%203%20de%201.3.dwg?dl=0

   

4.-Utiliza exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 5.4x 7, 6.29 x 7 y 8.29 x 7 cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

Primero verificamos si es rectángulo.

 Prop. 48 ----> (37.8)²     +    (44.03)²    = (58.03)²

                         1428.84  +   1938.6409 = 3367.4809

¡Si es rectángulo!  :)

Después calculamos el ángulo A o B. Calcularé el A.

Sen A = 44.03/ 58.03 arc sen (shift sen) = A = 49.35°

Calculamos la altura.

Sen A= cateto opuesto/ hip

Sen 49.35° = h/37.8

h=37.8 x sen 49.35°

h= 37.8 x .75870311

h=28.6789

4. Calculamos área con la fórmula usual

 A= b.h/2 =  58.03 (28.6789) =1664.236567 /2 = 832.1182835

5.- Por último utilizamos la fórmula de Herón de Alejandría

s= 44.03 + 37.8 + 58.03= 139.86/2 =69.93

s = la raíz de 69.93 ( 69.93 - 37.8)(69.93-44.03)(69.93- 58.03)

s =   ''  '' '' '' '' ''  69.93 (32.12)(25.9)(11.9)

s= La raíz de   692286.3846 = 832.0374899

  

Archivo AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/49lsduwsrfga4ca/problema%204%203.1.dwg?dl=0

5.- Utiliza exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 11.13* 7, 11.84 *7  y 16.25*7 cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

11.13*7=77.91     11.84*7=82.88     16.25*7=113.75

Verificamos si es rectángulo

Prop 48 ---->

          (77.91)²             +          (82.88)²              =         (113.75)²

         6069.9681             +   6869.0944            = 12939.0625

                                                      ¡Si es rectángulo!

Calcular ángulo A

Sen A= 82.88/113.75 arc sen = 46.77°

Calculamos altura

SenA= CO/hip

Sen 46.77° =h/77.91

h=77.91*sen 46.77°

h=77.91*.728610099

h=56.76601281

Formula usual

A= b*h/2   =   113.72(56.76601281)= 3228.566979

Fórmula de Herón de Alejandría

S= 77.91 +82.88+113.75/2=137.27

S= la raíz de 137.27(137.27-77.91)(137.27-82.88)(137.27-113.75)

S= '' '' '' '' ''  '' 137.27(59.36)(54.39)(23.52)

S=la raíz de 10423795.97

S=3228.5904

ARCHIVO AUTOCAD

https://www.dropbox.com/s/9raon2i9bl3uha2/problema%205%20de%201.3.dwg?dl=0

Vivian Mishelle Davila Martinez 2.-E PIAM

Semejanza de triángulos y triángulos rectángulos

Utilizando solamente una regla y un compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas sean 5 cm, 6 cm y 8 cm; y el otro de 7.5, 9 cm y 12 cm. Ahora mide sus ángulos y notaráz que son iguales. Verifica esta igualdad trazando los mismos triángulos en AutoCAD.

Ahora que sabemos que sus ángulos son iguales, divide el lado mayor entre el lado menor del triángulo más pequeño y luego realiza la misma operación con el triángulo más grande:

8/5= 1.6  

12/7.5=1.6

Ahora efectúa las siguientes divisiones:

8/6=1.33333

12/9= 1.33333

6/5= 1.2

9/7.5= 1.2

Cuando ocurre algo como lo anterior, se dice que los lados de los triángulos son proporcionales.

Archivo AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/icdd9lr76q7pdmf/Semejanza%20de%20triangulos%201.dwg?dl=0

Semejanza de triángulos rectángulos

En los triángulos rectángulos sucede exactamente lo mismo; si los ángulos son iguales, los lados son proporcionales.

Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas sean 10 cm, 10,5 cm y 14.5; y el otro de 20 cm, 21 cm y 29 cm. Mide sus ángulos y realiza las divisiones señaladas en el ejemplo anterior y anota tus conclusiones. Verifica tus conclusiones trazando los mismos triángulos en AutoCAD. 

Bueno como vemos los dos triángulos tienen los mismos ángulos, 44°, 46° y 90°.

Esto es por el triángulo más pequeño esta hecho con mitad de cada una de las medidas del más grande.

Ahora haremos unas operaciones para ver que son proporcionales estos triángulos.

14.5/10=1.45

29/20=1.45

14.5/10.5=1.38

29/21=1.38

10.5/10=1.05

21/20=1.05 

Son proporcionales

Archivo AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/e0h39jd7qd4vchf/semejanza%20de%20trianulos%20rectangulos.dwg?dl=0

Vivian Mishelle Davila Martinez 2.-E PIAM

Sacar uno de los lados, hipotenusa o cateto, y sacar incentro y circunscrito, con el número de mi lista.

TRAZA UN RECTÁNGULO CUYOS CATETOS MIDEN NL(7) X 25, Y NL(7) X 32.
DESPUÉS TRAZA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A ESTE TRIÁNGULO.

 Queremos saber cual es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y sabemos que la fórmula del teorema de pitágoras es c² = a² + b²
 Multiplicamos:
7 x 25 = 155 Cateto menor
7 x 32 = 224  Cateto mayor

Ahora sacamos hipotenusa (C) con teorema de pitágoras:
 h= la raíz cuadrada de 224² + 155² = 284.2551671

Entonces nos queda como:
Cateto menor = 155 cm
Cateto mayor = 224 Cateto Mayor
Hipotenusa = 284.2551671

Trazamos estas medidas en AutoCAD.
En la raya de abajo es el cateto mayor.
En el punto  es el cateto menor, que se hace con un circulo radio de la medida que tenemos.
La hipotenusa se pondrá también con circulo radio y con su respectiva medida.
Ya después de esto, unimos las lineas donde chocan los círculos  formando el triángulo, teniendo en cuenta que se tiene que formar un ángulo de 90 grados.
Y sacamos circuncentro y circunscrito.

https://www.dropbox.com/s/uw7co8dsf1403lf/incentro7%20x%2025y%207%20x%2032.dwg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/3c9hvfdnzu4k1yh/7.5%20X7%205.2%20X%207.dwg?dl=0

En este las medidas son diferentes:
Cateto mayor= 7.5 x 7 =52.5
Cateto menor= 5.2 x 7 =36.4
Hipotenusa= ?
Usamos el teorema de pitágoras y nos queda como =
c²= a² + b² y sacamos raíz cuadrada
h= 63.88434863
Y trazamos en AutoCAD como lo hicimos arriba.

https://www.dropbox.com/s/5h1b0t3tdnifewx/circunferencia%20circuscrita.dwg?dl=0

En  este el único dato que no tenemos es el cateto menor:
entonces:
La hipotenusa= 11 x Nl (7)= 77 =C
C. Mayor = 8 x NL(7)= 56 =A
C.Menor = ?
b² = c² - a²
entonces=
b² = (77)² - (56)²
b² =2793
Sacamos raíz cuadrada=
b= 52.84   <------------------------
 Trazamos en AutoCad, y trazamos incentro.

https://www.dropbox.com/s/vq93nm5e1dual6r/11x%207%208%20x%207.dwg?dl=0

PROBLEMA NÚMERO 4 DE LOS 5 DE LA HOJA.
Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 45 x NL cm. Si el Ca. Mayor mide el doble que el cateto menor, determina la medida de los tres lados. Traza el triángulo y la circunferencia circunscrita.

.
45 x 7 = 315
Mi método fue dividir 315 entre 5.23 = 60.229 C. Menor
60.229 x 2 = 120.4588 C. Mayor
Ahora usamos teorema de pitágoras:
C² = a² + b²
y sacamos raíz
h= 134.6768 = c

Ahora trazamos en AutoCAD y hacemos circunscrito.
https://www.dropbox.com/s/j8akg2kdc8l8unf/numero%204.dwg?dl=0





Vivian Mishelle Davila Martinez 2.- E PIAM

Problemas pág 3. Act 1.2

En las figura las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una y son tangentes entre sí. Determina el área sombreada.


El área del cuadrado es de 40x40 que es igual a 1600.
Dividimos 1600 entre 2= 800
y 800/2 = 400
 Pi (20)²/2= 628.32
628.32 - 400 =228.32

El área del cuadrado menor es 81. Determina el parea del círculo y del cuadrado mayor.
 Área del cuadrado menor: 
9x9= 81 
Área del círculo:
Pi (6.3640)² = 127.2363582

El triángulo es un triángulo rectángulo isósceles. Las tres semicircunferencias tienen como diámetro las dimensiones de la base de abajo y sus centros están en los puntos medios de los lados del triángulo. 








Para descargar archivos AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/tmhpzxa8us5wm2f/2cuadra1circulo.dwg?dl=0
https://www.dropbox.com/s/jeh0tk5kzelreoo/circulos40x40.dwg?dl=0
https://www.dropbox.com/s/mdly9o0lqmxszqa/triangulorectangulo.dwg?dl=0


Vivian Mishelle Davila Martinez 2.- E Procesos Industriales.

Puntos notables en el triángulo

INCENTRO

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

 CIRCUNCENTRO

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

ORTOCENTRO

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. 

BARICENTRO

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.

Vivian Mishelle Davila Martinez 2.-E Procesos Industriales.

 Para descargar archivos AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/5fw9ff45p0xim8w/baricentro.dwg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/km3i9e0vvvmsgow/circuncentro.dwg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/4pimhmdhkpq77j0/comotrazarincentro2.dwg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/l58ad82esu393qp/ortocentro.dwg?dl=0

Rectángulo áureo y espiral áurea en AutoCAD.

ESPIRAL ÁUREA

En este video se explica detalladamente como hacerlo:
https://www.youtube.com/watch?v=R3KNVxYwBFQ

RECTÁNGULO ÁUREO

                                  ESPIRAL A BASE DE LA SERIE DE FIBONACCI


 Como vemos estas figuras en si, las hicimos al tanteo no tuvimos una medida específica para hacerlo.

Hay ciertas diferencias entre la espiral áurea y la espiral que se construye con cuadrados cuyas medidas de los lados se toman de la serie de fibonacci.

 En el de fibonacci está formado por cuadros y medidas de la serie del mismo.

La espiral áurea la formamos  sin medidas específicas, con la ayuda de una regla no graduada y un compás.

Su semejanza entre éstas dos es que al dividir la base por la altura, nos dará el mismo resultado.




Para descargar archivos AutoCAD:

https://www.dropbox.com/s/tykthaexzt9dk18/RECTANGULOAUREO2.dwg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/gq4yr3glrmppphs/RECTANGULOAUREO.dwg?dl=0



Por: Vivian Mishelle Dávila Martínez 2.- E Procesos Industriales

Cuadrado de área igual a 7225

La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a 7225 metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a una alberca con área de regaderas y espacios para tomar el sol; las restantes áreas, a juegos infantiles, espacios con mesas y sillas para los visitantes, y un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la alberca, parte de una diagonal del cuadrado, y un cuarto de círculo con centro en el vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe de comprar para colocar en dicha área verde.

Bueno la parte inferior izquierda del cuadrado es el lado A.
La parte inferior derecha, es el lado B.
La parte superior derecha, es el lado C.
La parte superior izquierda, es el lado D.



Resuelve el problema y escribe la solución en las siguientes líneas.

Queremos sacar el área de la figura que está de color magenta.

Bueno primero se saca la raíz cuadrada del cuadrado, que es igual a 85.

Dividimos el área del cuadrado entre 2, osea, 

7225/2= 3612.5. y dividimos 3612.5/2= 1806.25

La raíz cuadrada de 1806.5 = 42.5

Luego hacemos operación;

π.(42.5)² /2= 2837.2575


Por último, hacemos una resta:

2837.2575 - 1806.25= 1031.0075  y lo dividimos entre dos:


1031.0075 / 2 =515.50375 y ésta es la respuesta.





Para descargar figura en AutoCAD:


https://www.dropbox.com/s/fj87nos5c0wu7w8/medialuna.dwg?dl=0

Propiedades de las figuras geométricas básicas.

Lados

El número de lados que tiene una figura puede ayudar a determinar qué tipo de figura geométrica es. Todas las figuras bidimensionales hechas con líneas rectas se consideran polígonos. Por ejemplo, un triángulo es una figura bidimensional que tiene tres lados. Los lados por sí solos no identifican la figura. Hay muchas figuras que tienen cuatro lados, como los cuadrados, rectángulos, rombos, trapezoides y muchas otras. Sin embargo, todas las figuras con cuatro lados se consideran cuadriláteros. Algunas figuras no tienen esquinas y por lo tanto no tienen lados distinguibles. Los círculos y los óvalos son ejemplos de figuras geométricas que no tienen lados distinguibles.

Ángulos

Las figuras que tienen esquinas, también llamadas vértices, crean ángulos que pueden medirse. Los ángulos están presentes tanto en las figuras bidimensionales como en las tridimensionales. Un ángulo puede medirse usando un transportador. Un ángulo puede ser agudo, lo que significa que mide menos de 90 grados, recto, que quiere decir que es de exactamente 90 grados, u obtuso, lo que significa que es mayor a 90 grados.

Regulares e irregulares

Las figuras bidimensionales pueden clasificarse en regulares e irregulares. Los polígonos regulares son polígonos cuyos lados y ángulos interiores son congruentes, es decir, iguales. Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales en longitud y todos los ángulos interiores son de 60 grados, lo que lo hace un triángulo regular. No todas las figuras pueden ser regulares. Un rectángulo, por ejemplo, por definición tiene dos lados que son iguales en longitud. Un lado es más largo que el otro. Esto hace que el rectángulo sea una figura irregular.

Figuras tridimensionales

La geometría no se limita a las figuras bidimensionales. También incluye las figuras tridimensionales, llamadas también figuras sólidas. Estas figuras tienen un valor adicional de profundidad que no tienen las figuras bidimensionales. Las figuras tridimensionales se construyen con figuras bidimensionales. Por ejemplo, un cubo es una figura tridimensional que se construye con seis cuadrados ordenados en la forma de una caja. Otras figuras son una combinación de varias figuras geométricas. Un prisma es una combinación de rectángulos y triángulos.

Bases

Las figuras tridimensionales tienen bases. La base es la cara de la figura que descansa sobre un plano. Por ejemplo, una pirámide tiene una base cuadrada. Un cilindro tiene una base circular. En algunos casos, la base es igual al resto de las caras, como en el caso de un cubo. Una esfera, que se ve como una pelota, no tiene una base. Una esfera se describe como una figura en la que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

Estas son las figuras geométricas más simples:

El cuadrado: Tiene cuatro lados iguales. Para dibujar el cuadrado siempre es bueno utilizar una regla milimetrada (con medidas), ya que los cuatro lados tienen que ser de igual longitud. Por consiguiente si sus cuatro lados son iguales sus cuatro ángulos deben ser del mismo tamaño, el cuadrado tiene los ángulos de 90°.

El ángulo se forma a partir de la unión de dos líneas. Al espacio comprendido entre esas dos líneas le llamamos ángulo y el punto de unión de las líneas le llamamos vértice. El triángulo:   El triángulo, como lo dice la palabra "tri", está formado por tres lados y tres ángulos. A toda figura geométrica formada por tres lados sea grande, pequeña, alta, achatada... se le da el nombre de triángulo.                                  Entonces para dibujar un triángulo, necesitamos recordar que tiene tres lados, y tres ángulos que varían según el tamaño de las líneas y según el tipo de ángulos, y que todos los triángulos tienen tres vértices.                         El rectángulo:Tiene cuatro lados, iguales entre sí de dos en dos. Para dibujar el rectángulo siempre es bueno utilizar una regla, debido a las diferencias de longitud. Igualmente, los cuatro ángulos son de 90°. Para dibujar el rectángulo, necesitamos recordar que tiene dos lados iguales, largos y dos cortos también iguales entre sí, cuatro ángulos iguales, y cuatro vértices.

	EL círculo:El círculo tiene varios elementos que se deben tomar en cuenta, el centro, el radio, y la circunferencia de la línea que limita al círculo.
Para dibujar el círculo es necesario un compás, la apertura del compás dependerá de la longitud del radio, y éste a su vez determinará el tamaño del círculo. La punta del compás será el centro del círculo, y la mina del compás hará la circunferencia del círculo.

       

Para dibujar el círculo es necesario un compás, la apertura del compás dependerá de la longitud del radio, y éste a su vez determinará el tamaño del círculo. La punta del compás será el centro del círculo, y la mina del compás hará la circunferencia del círculo.

El rombo

El rombo es un paralelogramo (que tiene los cuatro lados iguales) por tanto su perímetro y área pueden calcularse como los de un paralelogramo. La expresión más habitual es en función del valor de sus diagonales, que como sabes, son perpendiculares en un rombo. El rombo de la figura (amarillo) tiene área la mitad del rectángulo. Trapecio.  Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos reciben en general el nombre de bases, denominándose base mayor al de mayor longitud, y base menor al otro. Se denomina altura del trapecio a la longitud de un segmento de perpendicular comprendido entre ambas bases. Hexágono Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices. Hexágono regular. Un hexágono regular es un polígono de seis lados y seis ángulos iguales. Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros. Polígono regular es aquel que puede inscribirse en una circunferencia pues todos sus ángulos y lados son iguales. Polígono irregular es aquel cuyos vértices no se inscriben dentro de una circunferencia pues sus ángulos y lados son desiguales. Polígono equilátero es aquel con todos sus lados iguales, pero con ángulos de distinta medida. Polígono equiángulo es aquel con todos sus ángulos iguales, pero con lados de distinta longitud.

Vivian Mishelle Dávila Martínez 2.-E Procesos Industriales.